Title: 3- As consequências dos postulados de Einstein - O TEMPO
Course: Construção do conceito de Relatividade > Section: A teoria da relatividade especial

Nesta lição entraremos em contato com as consequências dos postulados da Teoria da relatividade de Einstein...

O tempo...

Voltemos ao exemplo do trem:

Na figura abaixo vemos um passageiro viajando junto do trem enquanto alguns observadores externos ao trem observam seu movimento.

Um dos postulados da teoria da relatividade nos diz que, independentemente do valor da velocidade da fonte luminosa, sempre que medirmos a velocidade na qual a luz se propaga no vácuo, obteremos o mesmo valor 300.000,0 km/s (também conhecido como "c")

Agora, nosso trem viaja com velocidade constante em relação ao referencial S, com metade da velocidade da luz, ou seja: 0,5c.

Note que instalamos um espelho no teto do vagão. Ele servirá para refletir a luz emitida por uma lâmpada instalada no chão do  mesmo vagão. Com isso conseguiremos construir uma espécie de "relógio de luz".

Como assim?

Vamos observar um feixe de luz proveniente da lâmpada que incide no espelho e é refletido de volta.

Podemos considerar o seguinte: o passageiro consegue medir o intervalo de tempo que o feixe leva para ser emitido pela lâmpada no chão e chegar ao espelho do teto. Chamaremos este intervalo de tempo de "tique". Já o intervalo de tempo que leva para o feixe ser emitido pelo espelho do teto e chegar de volta à lâmpada chamaremos de "taque".

Tique-taque...

Observando de dentro do trem

No referencial S', ou seja, dentro do vagão, o observador ali posicionado observará a luz descrevendo uma trajetória. Você consegue imaginar o formato que ela apresenta?

Qual é a trajetória do feixe de luz?

Como é a forma da trajetória do feixe de luz percebida pelo passageiro do trem?

- Retilínea
Feedback: Mas em qual direção e qual sentido? Reflita antes de continuar!
- Vertical
Feedback: Exatamente! Mudando de sentido na subida e descida.
- curva
Feedback: Observe a figura novamente e reflita antes de continuar!

Observando de dentro do trem 2

Sim, o observador posicionado em S' perceberá que a luz descreve uma trajetória totalmente vertical, gastando um "tique" de tempo para subir e um "taque" pare descer!

O intervalo de tempo (tique + taque) medido pelo observador em S' será denominado de t'.

E de fora do trem?

Será que os observadores posicionados em S, ou seja, do lado de fora do trem e em repouso em relação ao poste enxergarão a mesma trajetória para o feixe? Antes de avançar, discuta sobre isso com o colega do computador ao lado e escreva suas conclusões abaixo:

A partir do lado de fora do trem

Em S´, o observador observa uma trajetória vertical. Já os observadores posicionado em S observam o seguinte:

Note que enquanto o observador posicionado em S' observava que o feixe de luz apenas subia e descia ao ser refletido pelo espelho, os observadores posicionados em S percebem o feixe descrevendo suas trajetórias como as "hipotenusas" de dois triângulos retângulos.

Agora, como são os observadores posicionados em S que estão medindo o intervalo de tempo que a luz leva para "subir e descer". Chamaremos esse tempo simplesmente de t.

Pergunta

Como os observadores estão posicionados em referenciais diferentes (S e S´) eles observarão trajetórias diferentes para o feixe luminoso, como ilustrado no esquema abaixo:

Os observadores externos percebem que a luz viaja por um caminho muito mais longo do que o caminho observado pelo passageiro. Não é mesmo?

Se considerarmos o princípio de que a velocidade da luz é constante, podemos calcular o tempo que a luz leva para percorrer aquele caminho. Lembra de t e t´?

Então, para você, o que podemos afirmar quando compararmos t´ (que é o tempo medido pelo passageiro) com t (que é o tempo medido pelos observadores externos)? Procure justificar sua resposta.

Usando um pouco de matemática para analisar a situação!

Ok! Vamos estabelecer um objetivo para tornar claro o que queremos fazer aqui!

OBJETIVO: Comparar os intervalos de tempo que a luz leva para ser emitida, refletir-se no espelho e voltar à lâmpada. Ou seja: comparar o "tique-taque" medido pelo passageiro do trem com o "tique-taque" medido pelos observadores externos.

- Queremos verificar se há diferença entre t e t´!

Vamos começar lembrando que o passageiro (posicionado em S´) percebe que o feixe luminoso percorre um caminho muito mais curto que o caminho percebido pelos observadores externos (que estão posicionados em S).

A matemática começa agora, ao utilizar elementos de geometria para analisar a situação.

Antes de prosseguir, assegure-se que sabe qual caminho para o feixe de luz cada observador percebe. Converse com o colega ao lado para confirmar se ambos entenderam a mesma coisa!

Os triângulos

Começaremos a analisar o triângulo do esquema anterior. Observe que o triângulo isósceles já foi dividido em dois triângulos retângulos para facilitar nossa análise.

O observador em S` percebe que o feixe sobe e desce realizando um movimento puramente vertical, onde o tique-taque (t`) equivale ao intervalo de tempo necessário para o feixe subir e descer, ou seja, para percorrer uma distância de 2L_0.

Já o observador em S observa que o feixe de luz percorre um caminho de 2L, em um caminho que não é puramente vertical, pois o feixe de luz viaja junto do vagão de trem.

Falta apenas descobrirmos o tamanho da base do triângulo. Isto é fácil, visto que os observadores posicionados em S percebem que o trem viaja com uma velocidade v durante um intervalo de tempo t. Logo, basta multiplicarmos o valor da velocidade do trem pelo tempo que ele viaja com esta velocidade e descobrimos sua distância percorrida:

Outro detalhe: Perceba que este t medido pelos observadores em S coincide com o "tique-taque" medido por eles!

OBSERVAÇÃO: No início da nossa discussão, havíamos definido que a velocidade do trem era v=0,5c. Isto continua valendo para o nosso caso, porém estamos construindo uma lei que possa ser aplicada para qualquer móvel que se movimente com qualquer velocidade, por isso trataremos a velocidade do trem com um valor genérico "v".

Os triângulos 2

Como trabalhar com triângulos retângulos é mais fácil, veja o que faremos:

Até aqui, tudo tranquilo? Não se esqueça de chamar o professor em caso de dúvida!

Prosseguindo: Já deu pra perceber que o teorema de Pitágoras vai ser útil para nossa análise, não é mesmo?

- Primeiro passo: descobrir quanto vale L_0.

Vamos deixar que o passageiro do trem aplique o conceito de velocidade para a propagação da luz:

_

- Segundo passo: Descobrir quanto vale L:

Agora vamos deixar que os observadores externos apliquem o conceito de velocidade para a propagação da luz:

Não vamos esquecer nosso objetivo que é comparar o "tique-taque" medido dentro do trem com o "tique-taque" medido fora do trem! (comparar t com t')

Os triângulos 3

Agora que já sabemos quanto valem os lados do triângulo retângulo, vamos aplicar o teorema de Pitágoras!

Sim, um pouco de álgebra, mas não vai doer tanto assim!

Siga as setas e chame o professor caso encontre algo confuso!

Opa, temos algo estranho aqui? Discuta a conclusão com seu colega ao lado antes de prosseguir.

A interpretação da conclusão

Já tínhamos visto que, observando o "relógio de luz" a partir de diferentes referenciais, percebíamos que a luz percorria caminhos com comprimentos diferentes.

Porém, os resultados dos nossos cálculos nos mostraram que observadores posicionados em referenciais diferentes medem durações de tempo diferentes para uma mesma situação.

(estudante confuso) – Como assim? Quer dizer que um "tique-taque" do relógio dentro do trem em movimento não dura o mesmo tempo que um "tique-taque" do MESMO relógio quando é visto de fora do trem?

(Professor entusiasmado) – É isto mesmo! Não é esquisito para você?

(estudante mais confuso ainda) – ...

(Professor entusiasmado) – Talvez não tenha ficado claro o que está sendo mostrado... Acontece que esta conclusão não foi óbvia nem para muitos físicos renomados lá do início do século XX. Acabamos de mexer com um dos pilares que apoiavam a física clássica. O tempo, que antes de Einstein era considerado como algo absoluto e que flui de forma independente de tudo, agora não é mais.

(estudante ainda confuso) – Quer dizer então que para o passageiro do trem (que está em repouso com relação a S'), o intervalo de tempo que a luz leva para sair da lâmpada, ser refletida pelo espelho e voltar para a lâmpada dura um tempo diferente do intervalo de tempo medido pelos observadores que estão fora do trem (em S)? Mesmo sendo o mesmo feixe de luz?

(Professor entusiasmado) – Exatamente. Agora o tempo deixa de ser algo absoluto e passa a ser uma grandeza RELATIVA, ou seja, algo que depende do referencial no qual é medido.

Vamos aplicar a nossa conclusão para tentar ilustrar melhor:

Continuação da interpretação

Anteriormente, havíamos definido que o trem estava se deslocando com uma velocidade de 0,5c.

Sim, 50% da velocidade da luz. Rapidinho né...

Pois bem. Supondo que o passageiro em S' meça o intervalo de tempo que a luz leva para ser emitida pela lâmpada, refletida pelo espelho e chegar de volta na lâmpada. E que este tempo seja t'= 2 segundos.

Qual seria o intervalo de tempo gasto  pelo mesmo feixe de luz descrito acima, porém, quando observado de fora do vagão?

Tente aplicar o nosso resultado (este que está dentro do quadro laranja). Antes de prosseguir, compare seu resultado com o resultado dos seus colegas. Ah, logo abaixo há uma calculadora para ajudar nos cálculos!

Web 2.0 calculadora científica

Comparando resultados obtidos

Abaixo temos a resolução do problema:

Percebemos que para a situação do trem, o "tique-taque" medido pelo passageiro em S' dura 2 segundos enquanto que para os observadores posicionados em S, o mesmo "tique-taque", dura 2,3 segundos.

Por definição, chamamos t' de tempo próprio. ele sempre é medido no referencial no qual o relógio está em repouso. O tempo próprio sempre é o menor intervalo de tempo medido entre dois eventos.

o observador em S mede sempre um intervalo de tempo maior entre um "tique-taque" quando comparado com o que foi medido em S'. E tem mais, todos os observadores que se movimentam em relação ao relógio medirão intervalos de tempo mais longos. O mais legal disso tudo é que este efeito é percebido em qualquer tipo de relógio, dos analógicos mais simples, aos mais sofisticados relógios nucleares.

Para este efeito, atribuímos o nome de DILATAÇÃO TEMPORAL.

Antes de finalizar este tópico clicando na tarefa abaixo, assista o vídeo:

Tarefa sobre a dilatação temporal

TAREFA:

Sua tarefa agora é variar o valor da velocidade do trem algumas vezes, até perceber o quanto esta velocidade afeta a passagem do tempo.

Será que valores baixos de velocidade (estes que estamos acostumados no cotidiano) conseguem produzir efeitos significativos na passagem do tempo?

E quanto mais próximo da velocidade da luz o trem viajar? O que acontece com a percepção do tempo para quem está dentro e fora deste trem?

Elabore um parágrafo onde você apresenta seus resultados obtidos e suas interpretações destes resultados.

Fim do cluster

Fim do cluster

Fim de seção

Fim de seção

Fim de seção

Fim de seção